Übungen Mathematik

Mathematische Grundlagen

Brüche und Potenzen

A5) schwerere Aufgabe

 

Euler, (e und ln)

A6)   [ln(a hoch b)]/b

A7)  ln (c hoch d)

A8)

Dies ist eine Exponential-Gleichung, Gesucht Lösung nach x?

a)Lösen Sie nach x = ?

b) setzen Sie die Lösung (x = ?) in die ursprüngliche Gleichung ein. Prüfen Sie, ob das Resultat x = ? stimmt. Es müsste b ergeben.

A9) lnx = -B + lnC²

x = ?

A10) ln(a) – ln(b) + 1 = ?

Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten

 

A11) ax² + bx + c = O. Schreibe die Diskriminante auf und berechne x1 und x2 mittels Diskriminante.

A12) Erstelle eine Excelfomel für die Berechnung der quadratischen Gleichung oben.

A13) 3x² + 4x + 1 = 0 gesucht x1 und x2, löse mit oben erstellten Excelformel.

Löse auch folgende Gleichungen mit dieser Excelformel.

A14) x² + 2x + 2 = 0

A15) x² + x = 0

A16) x² + 2x + 1 = 0

A17) x² + 2 = 0

A18) x² – 2 = 0

A19) Gleichungsystem mit 2 Unbekannten

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Bestimme die Determinanten D, D1 und D2 und schreibe die Lösungen von x und y.

A20) Erstelle die Excelformeln für D, D1 und D2 sowie für x und y.

A21) Löse folgendes Gleichungssystem mit 2 Unbekannten.

2x + 3y = 4

4x + 5y = 6

gesucht x = ? und y = ?

A)22

6x + 3y = 10

8x + 4y = 7

gesucht x = ? und y = ?

A)23

6x + 15y = 5

2,4x + 6y = 2

gesucht x = ? und y =  ?

 

Übungen zu Differential- und Integralrechnung

B)24

G(u) = eu*sinu
G‘(u) = ?

 

B)25

J(v) = v3 + 5v5 + 1
J‘(v) = ? und wie gross ist die Tangentensteigung bei v = 3?

 

B)26

Das Integral der folgenden Funktion ergibt:
f(r) = r2/(E – r)2 = (r2 – 2E2)/(E – r)) + 2E*ln(E – r)
Prüfen Sie nach durch Ableiten der integrierten Funktion.

 

B)27

Funktion sei  f(x) = x³ – 2x² + 5

1) Zeichnen Sie mithilfe eines Millimetepapiers oder eines mathematischen Computerprogramms den Graph der Funktion f(x) = x³ – 3x² + 5.

2) Wieviele Wendepunkte hat der Graph dieser Funktion und wo liegen diese? x = ?, y = ?.
Leiten Sie f(x) ab und berechnen Sie f ‘ (x) = 0 bzw die beiden Wendepunkte (Steigung = 0) die Sie soeben in 1) graphisch ermittelt haben. Vergleiche das Resultat.

3) Wievele Nullstellen hat diese Funktion und wo liegt oder liegen diese, f‘ (x) = 0? Suchen Sie die Lösung durch Einsetzen von x in f(x). (Benützen Sie Excel) 

 

C)28

Integrieren Sie f(x) von Aufgabe B)27 von der Nullstelle (y = 0) bis zum 1. Wendepunkt.
In der Naturwissenschaft trifft man immer wieder auf Funktionen, die sich nicht mathematisch definieren lassen oder wenn eine mathematische  Funktion existiert, ist diese nicht integrierbar. 
Berechnen Sie diese Fläche vorerst durch zusammenzählen der kleinen Häuschen = 1 mm2 pro Häuschen.
Berechne nun das bestimmte Integral von f(x) von der Nullstelle bis zum 1. Wendepunkt. = ∫(0/Nullstelle)f(x)  = (x³ – 2x² + 5)dx

 

Übungen zu den Differentialgleichungen

D)29

Für die nichtlineare Differentialgeichung 1. Ordnung: y’ = b(M – y)(N – y), M ≠ N

wurde folgende Lösung gefunden:

y = M + (N – M)/[1 – L*e hoch b(N – M)x]

Kontrollieren Sie dieses Resultat durch Einsetzen in diese Differentialgleichung: Hinweis. Berechne vorerst y’ bzw dy/dx

 

 

 

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