Lösungen zu den Übungsaufgaben

 

A1) = (a – x)/x

A2) = 1 + y

A3) =

A4) = A²/CB

A5) = cA/(A +c)U²

 

A6) = lna

A7) = d*lnc

A8) a) Mehrere Lösungswege führen zum Resultat: x= 1/a*ln[b/(b -1)] oder x = -1/a*ln[(b-1)/b], was dasselbe ist.

Ein einfacher Lösungsweg ist, wenn e hoch -ax durch u substituiert wird und vorerst nach u aufgelöst wird.

b) man setze x = 1/a*ln[b/(b – 1)] in die Gleichung ein. Man beachte: -(b – 1) = -b + 1

A9) 1) Gleichung mit Basis e potenzieren

e hoch lnx = e hoch (-B + lnC²) 

daraus folgt:

x = e hoch (-B + lnC²) = C²*e hoch -B

A10) = ln(e*a/b),  (lne¹ = 1!)

 

A11) ax² + bx + c = 0,

D = b² – 4ac

x1 = (-b + √D)/2a

x2 = (-b – √D)/2a

A12) Beschaffe ein Excelprogramm.

Wähle z.B. die Felder: A1 = a, B1 = b, C1 = c

Für die Diskriminante wähle z.B. Feld D1

Für die Lösungen x1 = Feld D2 und x2 = Feld D3

Trage Excelformel für die Diskriminante =B1*B1-4A1*C1 ins Feld D1 ein.

Excelformel für x1 =(-B1+WURZEL(D1))/(2*A1) Feld D2

Excelformel für x2 =(-B1-WURZEL(D1))/(2*A1) Feld D3

A13)

x1 = -1/3

x2 = -1

A14) D = -4, Diese Gleichung hat keine Lösung

A15) 2 Lösungen

x1 = 0

x2 = 1

A16) Diese Gleichung hat 1 Lösung

x1 = x2 = -1

A17) keine Lösung D = -8

A18) 2 Lösungen

x1 = √2

x2 = -√2

A19)

D = a1*b2 – b1*a2

D1 = c1*b2 – c2*b1

D2 = a1*c2 – c1*a2

x = D1/D

y = D2/D

A20) Gehe zum Excelprogramm.

Wähle z.B. die Felder: A1 = a1, B1 = b1 uns C1 = c1

Excelformel für x  =(C1*B2-C2*B1)/(A1*B2-B1*A2)

Excelformel für y =(A1*C2-C1*A2)/(A1*B2-B1*A2)

A21)

x = -1

y = 2

A22) D = 0 aber D1 und D2 sind von null verschieden. Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung.

A23) Hier sind alle 3 Determinanten, D, D1 und auch D2 = 0. Das Excelprogramm präsentiert lediglich (wie in obiger Aufgabe) den Ausdruck “#DIV/0!”

Aber Achtung: Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen!

 

B24)
G‘(u) = ehochu(sinu + cosu)

B25)
J‘(v) = 3v² + 10v, J‘(3) = 57

B26)
Ableitung des Bruchs mit Quotientenregel:
= (-2Ex + 2r² + 2E² – r²)/(E – r)²
Ableitung von 2E*ln(E – r) mit Kettenregel:
= -2E/(E-r)
Beide abgeleitete Ergebnisse zusammenzählen durch gleichnamig machen des Nenners ergibt; r²/(E – r)²

 

B27)

1) F(x) = x³ – 2x² + 5 hat 2 Wendepunkte wo die Steigung = 0 ist. (X/Y) (0/5) und (4/3/3.81)

2) f ‘ (x) = 3x² – 4x = 0, x1 = 0, x2 = 1.3333 = 4/3

3) f (x) hat eine Nullstelle, sie liegt bei x = – 1.2419

 

C28)

∫f(x) = x³ – 2x² + 5 = xhoch4/4 – 2/3x³ + 5x
[xhoch4/4 – 2/3x³ + 5x](0 – 1.2419) = |4.338 cm²|
Wenn Sie die mm2-Häuschen manuell zusammenzählen sollten Sie 4338 davon erhalten: 4338 mm² = 4.338 cm²

 

D)29

y = M + (N – M)/[1 – L*e hoch b(N – M)x]

M/dx = 0, somit M verschwindet und es beibt:

dy/dx = (N – M)/[1 – L*e hoch b(N – M)x]/dx 

Kettenregel:

Äussere Funktion: f(u) = (N – M)/u, df(u)/du oder f'(u) = -(N – M)/u²

Innere Funktion = u = 1 – L*e hoch b(N – M)x Ableitung nach dx = -Lb(N – M)e hoch b(N – M)x

Äussere mal Innere Funktion = -(N – M)*-[Lb(N – M)e hoch b(N – M)x]/[1 – L*e hoch b(N – M)x]²

Somit haben wir für die linke Seite: y’ =  [L*b(N – M)²*e hoch b*(N – M)x]/[1 – L*e hoch b*(N – M)x]² 

Die rechte Seite: b(M – y)*(B – y) wir setzen nun hier y = M + (N – M)/[1 – L*e hoch b(N – M)x] ein.

Zur Vereinfachung ersetzen wir vorübergehend 1 – L*e hoch b(N – M)x durch z und schreiben: y = M + (N – M)/z.

Durch Einsetzen in b(M – y)*(B – y) und ausmultiplizieren bleibt -b/z(M – N)² + b/z²(M – N)² was sich wie folgt vereinfachen lässt:

= (M – N)²b(1 – z)/z² oder da (M – N)² = (N – M)² = (N – M)²b(1 – z)/z²  und nun schreiben wir z aus.

=(N – M)²b[1 – (1 – Le hoch [b(n – M)x]/[1 – L*e hoch b(N – M)x]² = [L*b( N – M)²*e hoch b*(N – M)x]/[1 – L*e hoch b*(N – M)x]²

 

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