Roulette

 

Sie setzen einen chip auf eine Zahl zwischen 1 und 36 oder auf Zero.

Anzahl möglicher Fälle = 37 mit der Zero. Anzahl zutreffender Fälle = 1

P(A) = 1/37

 

Sie setzen nun einen Chip auf Impair. Das heisst, wenn eine ungerade Zahl zwischen 1 und 36 erscheint, haben Sie einen Chip dazu gewonnen. Wenn die Zero kommt, haben Sie so oder so verloren. Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit P(A), dass Sie einen Gewinn machen?

Anzahl möglicher Fälle wiederum ist 37, Anzahl zutreffender Fälle = 18, nämlich alle ungeraden Zahlen, zwischen 0 und 36, die null ist weder gerade noch ungerade.

P(A) = 18/37

 

Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit für das erste Dutzend, indem Sie einen Chip auf die Zahlen 1 – 12 setzen.

 

Lottozahlen

 

Aufgabe: Wieviele Lottozettel muss man ausfüllen, dass man bestimmt 5 Richtige hat?

 

Wir leiten zuerst eine Formel her, mit folgendem Beispiel:

 

Aus 4 verschiedenen Zahlen 1,2,3,4 also n =4, werden Zahlenkombinationen aus jeweils 2 Zahlen gebildet, k = 2. Dabei ist wichtig, dass die Reihenfolge dieser 2 Zahlen wesentlich ist, was bedeutet, dass die 2 Zahlen beliebige Reihenfolgen haben können. Die beiden gewählten Zahlen 1,3 und 3,1 gelten als 2 verschiedene mögliche Kombinationen

Frage: Wieviele Zahlenpaare M erhält man aus den Zahlen 1,2,3 und 4. Achtung: Die Zahlenpaare müssen immer verschieden sein, Wiederholungen sind nicht gestattet!

M für 1,2 / 1,3 / 1,4 / 2,1 / 2,3 / 2,4 / 3,1 / 3,2 / 3,4 / 4,1 / 4,2 / 4,3 = 12 Zahlenpaare, M = 12

M ist 2 mal kleiner als 4!.

Für k = 3 ist M = 24 man erhält 24 mögliche Kombinationen

Für k = 1 ist M = 4, oder 6 mal kleiner als 4!: 24/4 = 6

Dasselbe Spiel machen wir mit 5 verschiedene Zahlen 5! = 1*2*3*4*5 = 120

Für k = 2 erhalten wir 20 M, es ist 6 mal kleiner als 5!: 120/6 = 20

Für k = 3 erhalten wir 60 M = 5!/2

Für k = 4 M = 120

Für k = 5 M = 1, 2, 3, 4, 5 = 5 M oder der 24te Teil von 5!, 120/24 = 5

Die Formel für diese Beispiele lautet M = n!/(n-k)!

 

Bei den Lottozahlen werden die Kombinationen von von a,b und b,a als gleich angesehen!

1,2 = 2,1

Aus 4 verschiedenen Zahlen 1,2,3,4 also n =4, werden wiederum wie oben Zahlenkombinationen aus jeweils 2 Zahlen, k = 2, gebildet. Dabei ist wichtig, dass die Reihenfolge dieser 2 Zahlen unwesentlich ist, was bedeutet, dass die 2 Zahlen beliebige Reihenfolgen haben können. Die beiden gewählten Zahlen jedoch 1,3 und 3,1 gelten als eine mögliche Kombination und sind gleichbedeutend, wie wir es beim Lotto kennen.

Frage: Wieviele Zahlenpaare M erhält man aus den Zahlen 1,2,3 und 4. Achtung: Die Zahlenpaare müssen immer verschieden sein, Wiederholungen sind nicht gestattet!

Zahlenpaare:

1,2 / 1,3 / 1,4 / 2,3 / 2,4 / 3,4  es gibt also 6 Zahlenpaare, M = 6

Wir wissen auch dass 4! = 1*2*3*4 = 24

Die Formel für die Lottozahlen lautet M = n!/{k!(n – k)!}

 Quelle: Formel und Tafeln, Mathematik Physik, 3. Auflage Orell Füssli Seite 27

 

Anwendung Euro-Lotto

Wir haben Zahlen 1 – 50 und Sterne 1 – 11. Das heisst wir haben 50 + 11 = 61 verschiedene Möglichkeiten oder Zahlen. Man kann maximal 5 Zahlen und 2 Sterne ankreuzen, jedoch nicht 7 verschiedene Zahlen oder Sterne, Achtung!

Zur Vereinfachung vorerst: Berechnung für 5 richtige Zahlen.

Wieviele solcher Zettel muss ich ausfüllen, damit ich bestimmt (wenigstens) 5 richtige Zahlen habe?

n = 50

k = 5

Die Formel M = n!/{k!(n – k)!} = 50!/{5!(45)!} = 2118760 Möglichkeiten oder Felder

Der Eurolottozettel besteht aus 6 Feldern, 2118760/6 = 353127 Lottozettel, beim letzten (353127en) Lottozettel müssen nur 4 Felder ausgefüllt werden.

Kosten für dieses Lotto 2118760 * Euro 2 = 4’237’520 Euro

Wie viel Scheine sind nun auszufüllen, damit man garantiert 5 richtige Zahlen und 2 richtige Sterne hat, bzw Rang 1?

Wir rechnen zuerst folgendes Beispiel. Aus fünf verschiedenen Zahlen, 1,2,3,4,5 werden jeweils drei ausgewählt, n = 5, k = 3. Gleichzeitig werden aus den Buchstaben a,b,c,d jeweils 2 Buchstaben ausgewählt, n = 4, k = 2.

Wieviele Kombinationen aus 3 Zahlen und 2 Buchstaben erhalten wir?

Achtung: zur Erinnerung die Reihenfolge ist unwesentlich und Wiederholungen sind nicht gestattet!

Bei den Zahlen gibt es 10 Kombinationen: 123, 124, 125, 134, 135, 145,  234, 235, 245, 345

Bei den Buchstaben gibt es 6 Kobinationen (siehe oben) ab, ac, ad, bc, bd, cd

Zur jeder der 10 Dreier-Kombinationen kommen 6 Zweier-Kombinationen von Buchstaben hinzu.

Man erhält somit 60 Kombinationen oder Möglichkeiten M = 60.

Das heisst man kann die Formel M = n!/{k!(n – k)!} sowohl für das Zahlenbeispiel als auch für das Buchstabenbeispiel anwenden und beide Resultate miteinander multiplizieren:

M = n(z)!/{k(z)!(n(z) – k(z))!}*n(b)!/{k(b)!(n(b) – k(b))!}

 Auf das  Eurolotto angewendet lautet die Rechnung:

 

50!/{5!(45)!}* 11!/{2!(11-2)!} = 2118760* 55 = 116531800 Felder bzw 19’421’967 Lottozettel, Euro Millions. Beim letzten Zettel müssen nur 4 Felder ausgefüllt werden.

Kosten 116531800* 2 Euro = 233’063’600 Euro

Brüche von Fakultäten. Noch kurz, wie berechnet man 12!/5! = 47 – (5 + 1) = 6 nun 6 bis 12 durchmultiplizieren 6*7*8*9*10*11*12 = 3991680

 

 

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