Gleichungslehre

Regel allgemein

Was ich auf der linken Seite tue, muss ich auch auf der rechten Seite tun.

A + B = C + D

F wird dazugezählt

+ F:     A + B + F = C + D + F

 

Gleichungen mit einer Unbekannten x

gesucht ist der Wert von x.

Lösungsansatz

die Gleichung wird soweit vereinfacht, dass nur die Unbekannte auf der linken oder auf der rechten Seite übrigbleibt

ax + b = c

wir lösen also nach x auf:

Anwendung der Regel: b subtrahieren dann durch a dividieren

= ax + b – b = c – b und es bleibt ax = c – b, Division durch a ergibt ax/a = c – b/a

x = c – b/a

Kontrolle: wir setzen nun dieses Resultat von x in ax + b = c ein:

a(c – b)/a + b = c und erhalten: a fällt weg, und es bleibt c- b + b = c

 

Weitere Beispiele von Gleichungen mit 1 Unbekannten

1/y = 1/2, gesucht y: wir kehren den Bruch um und erhalten y = 2 Kontrolle ½ = ½

 

1/z = z/2, gesucht z: Bruch umkehren ergibt z = 2/z dann multiplizieren mit z:

z²  = 2 daraus folgt z = √2,

Kontrolle 1/√2  = √2/2 oder 2exp-½ = 2exp(½ – 1)

                        

x² = a, x = √a  Kontrolle √a*√a = a

 

1/y = y – 1 multiplizieren mit y ergibt: y² – y = 1

nun haben wir bereits eine Gleichung 2. Grades bzw eine quadratische Gleichung:

diese hat die Form

ax²  +  bx +  c  =  0

y² – y – 1 = 0

Die Lösung ist die sogenannte Diskriminante, D = b² – 4ac

Wenn D > 0 (D grösser als 0) gibt es  2 Lösungen  x(1) = -b + √D/2a,    x(2) = -b – √D/2a 

Wenn D = 0  es gibt 1 Lösung x(1)= x(2) = – b/2a

D < 0  es gibt keine Lösungen

Zurück zum Beispiel: y² – y – 1 = 0

D = 1 + 4 = 5,

y1 = (1 + √5)/2,  

y2 = (1 – √5)/2

Diese Gleichung hat also 2 Lösungen

Herleitung der Diskriminante

Wer kennt sie nicht, die quadratische Gleichung:

ax² + bx + c = 0

Fast jede berufliche oder studienmässige Fachrichtung kommt mit dieser Gleichung in Kontakt. Sei es bei der Matur, Abi, Berufsmatur, Fachhochschule Technik und Ökonomie oder Universität naturwissenschaftlicher, technischer oder ökonomischer Richtung.

Die Lösung dieser Gleichung ist ja simple einfach, wenn man wenigstens die Diskriminante kennt: D = b² – 4ac. Wenn D positiv und > 0 ist erhalten wir 2 Lösungen, wenn D = 0 eine Lösung. Ist D < 0 enthält die Gleichung für reelle Zahlen, R, keine Lösung. (vgl Mathematische Grundlagen)

Lernen Sie aber die relativ einfache Formel der Diskriminate trotzdem nicht auswendig!

Leiten Sie D einfach her, indem sie bei der Gleichung ax² + bx + c = 0, Zahlen einsetzen, welche für x nur eine einzige Lösung liefern.

In Mathematische Grundlagen finden sie die binomische Formel: (a + b)²  unter „Wichtige Beziehungen“ ergibt die Zerlegung a² + 2ab + b²

Für diese Gleichung, ax² + bx + c = 0 suchen wir nun welche, dessen x1 = x2 ist.

Wir zerlegen nun eine binomische Formel (2 + 1) ² = 4 + 4 + 1. Dieses Ergebnis setzten wir nun in die quadratische Gleichung anstelle von a, b und c ein:

4x² + 4x + 1 = 0, diese Gleichung hat nur 1 Lösung: x1 = x2 = -1/2. wir rechnen nach

4*(-0.5)² + 4(-0.5) -1 = 1 – 2 + 1 = 0

Dieses Resultat x = -1/2 erfüllt auch die Gleichung 2x + 1 = 0, weshalb 4x² + 4x + 1 = 0 nur eine Lösung x1 = x2 = -1/2 hat.

Allgemein kann man schreiben: -1/2 = -b/2a, denn -4/2*4 = -1/2.

Wir ermitteln nun die Diskriminante D: Wie wir wissen, hat die quadratische Gleichung nur dann 2 verschiedene Lösungen, wenn D > 0 ist. Ein Wurzelgleichung des Formats x² + a = 0

Hat ja die Lösung √a, ist a = 4, so ist x1 = 2 und x2 =  -2.  Also muss die Diskriminante D eine gesuchte Wurzel sein.

In die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 setzen wir nun anstelle von x jeweils eine mutmasslich Lösung der Gleichung x = -b/2a + √D/2a ein und erhalten folgendes:

a*{(-b –√D)/2a}² + b(-b –√D)/2a + c = 0, ausmultiplizieren,  mit a kürzen und Nenner gleichnamig machen:

(b² + 2b√D + D -2b² – 2b√D  + 4ac)/4a = 0, vereinfachen und Wurzeln verschwinden lassen

– b² + D + 4ac = 0, und nun nach D auflösen D =  b² – 4ac

Excelformel zur lösung der quadratischen Gleichung:

ax² + bx + c = 0,

a = A1, b = B1, c = C1

Eintragen der reellen Zahlen a,b und c in irgendeine leere Zelle

Diskriminante = B1*B1-4*A1*C1

x1 = (-B1+WURZEL(B1*B1-4*A1*C1))/2*A1

x2 = -B1+WURZEL(B1*B1-4*A1*C1)/2*A1

 

Gleichungssystem mit 2 Unbekannten

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

zuerst nach x1 aufgelösen: x1 = (b1 – a12x2)/a11

bei der 2. Gleichung einsetzen und  nach x2 auflösen    x2 = (b2a11 – a21b1)/(a22a11 – a21a12)

Diesen Wert setzen wir erneut bei der 1. Gleichung ein und lösen nach x1 auf.

Resultate:

x1 =  (a22b1 – a12b2)/(a11a22 – a21a12)

x2 =  (a11b2 – a12b1)/(a11a22 – a21a12)

ÜBUNG: Kontrolliere durch Einsetzen der Lösungen von x1 und x2 in obige Gleichung mit 2 Unbekannten.

Gleichung mit 2 Unbekannten, Lösung mit Determinanten:

Weitere Gleichungen

Gleichungen dritten Grades

ax³ + bx² + cx + d = 0

Differentialgleichungen

f ’(x) = f(x) – a

f ’’(x) = -Da

Bei diesen Gleichungen ist die gesuchte Unbekannte eine bestimmte Funktion f(x)

 

Gleichungssystem mit 3 und mehr Unbekannten

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Lösungswege erfolgt mit der Determinantenmethode

Lösungswege weiter unten und in höheren Lektionen

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