Einführung in die Integralrechnung

Bevor Sie hier weiterfahren, wird empfohlen, das Kapitel

Grundlagen Integralrechnung 

zu wiederholen.

 

Definition

Bei linearen Funktionen, wie f(x) =  ax + b oder f(x) = x/c + dx etc. kann man die Fläche des zu bestimmenden Integrals unter der Kurve geometrisch berechnen.

Bei Funktionen die Krümmungen aufweisen müssen die Teilintervalle, Δx, unendlich klein gewählt werden und die unendlich schmalen Flächen unter der Kurve zusammengezählt werden.

Bei der Funktion f(x) = x, beträgt Δx = 1 siehe unten. Die Funktion ist linear. das Integral ∫ (5,1) d.h. von f(x) = x von x = 1 bis x = 5 beträgt 

gemäss Integralrechnung ∫f(x) = x = x²/2.  [5²/2 – 1²/2] =12

Geometrisch, wenn Sie die blauen und die roten Quadrate zusammenzählen und die Summe durch 2 dividieren:

(Obersumme + Untersumme)/2, 14 + 10 = 24, 24/2 = 12

 

 

Weiteres Beispiel einer linearen Funktion:

f(x) = x/2

wir ermitteln wieder das Integral gemäss Grundlagen Integralrechnung.(siehe oben)

∫(x/2) dx = x²/4

Die Integrationsgrenzen seien zwischen 10 und 50. Wie gross ist die Fläche?

∫50.10(x/2)dx =[50²/4 – 10²/4] = 625 – 25 = 600

Das Integral ∫(50,10)f(x)dx  =∫50,10 (x/2)dx, das heisst, die Fläche zwischen x = 10 und x = 50 beträgt 600.

Dasselbe Resultat lässt sich wiederum graphisch ermitteln. Am besten bedient man sich dazu eines Millimeterpapiers, falls keine anderen

Hilfsmittel (auch spezielle Computerprogramme) vorhanden sind. Δx betrage hier 10:

Das Resultat lautet (∑Flächen der Obersumme + ∑Flächen der Untersumme)/2

Siehe Abbildung unten:

Nicht lineare Funktionen

Bevor wir endlich eine Definition herleiten, wollen wir noch ein Integral einer nicht linearen Funktion rechnerisch und graphisch bestimmen.

f(x) = x²

Wir berechnen die Fläche unter dem Graph von f(x) von x = 1 bis x = 4.

Zuerst integrieren wir ∫f(x)dx = ∫x²dx gemäss Grundlagen Integralrechnung.(siehe oben):

∫x²dx = x³/3

Berechnung der Fläche von x = 1 bis x = 4

∫4,1(x²)dx = [4³/3 – 1³/3] = 64/3 -1/3 = 21

Die Berechnung der Fläche unter dem Graph kann wiederum mittels Ober- und Untersumme erfolgen, das Δx muss nun jedoch möglichst

klein gewählt werden. Nur so gelangt man immer näher an das Resultat = 21.

Um den Flächeninhalt zwischen x = 1 und x = 4 von f(x) = x² möglichst genau zu berechnen, muss auf diese Weise Δx möglichst klein gewählt werden.

Die Teilintervalle von Δx müssen möglichst nahe bei 0 sein. Es genügt somit, wenn man allein mit der Obersumme oder  mit der Untersumme arbeitet.

Daraus lässt sich folgendes formulieren:

Limes Δxi –> 0 (i = 1) ∑f(xi)*Δxi  = ∫b,a f(x)dx

In unserem Beispiel f(x) = x² ist b = 4 und a = 1 und die Fläche beträgt bei der Auswahl möglichst kleiner Δx zwischen x = 1 und x = 4, 21.

∫4,1 (x²)dx = 21

Die Summe der Flächen beliebig kleiner Teilintervalle Δx, die gegem 0 streben aber dafür immer zahlreicher werden, wird Riemannsche Summe genannt.

 

Bestimmte und unbestimmte Integrale

Bestimmtes Integral

Indem die Teilintervalle Δx immer kleiner werden – dabei muss diese nicht gleich lang sein – wird die Anzahl der Teilflächen n immer zahlreicher. (n geht gegen ∞)

Die oben erwähnte Riemannsche Summe neigt sich einem Grenzwert zu. Man nennt diesen Grenzwert das bestimmte Integral von f, mit den Grenzen a und b.

In obgenannten Beispiel f(x) = x² betragen die Grenzen 1 und 4.

Die Formulierung lautet wie folgt:

∫b,a f(x)dx = Limes Δxi –> 0 (i = 1) ∑f(xi)*Δxi 

 

Unbestimmtes Integral

In unserem Beispiel lautet die sogenannte Stammfunktion f(x) = x².

Wenn wir diese Stammfunktion integrieren ergibt das ∫x²dx = x³/3. Wenn wir diese integrierte Funktion wieder ableiten erhalten wir x².

Wenn wir

x³/3 + 2, 

x³/3 + 4, 

x³/3 + 1599

oder x³/3 + A

nach dx ableiten erhalten wir ebenfalls x².

Das bedeutet, dass die Stammfunktionen nicht explizit bestimmt sind. Weshalb man zur integrierten Stammfunktion ein C dazuaddiert:

∫f(x)dx = F(x) + C

in unserem Beispiel

∫x²dx = x³/3 + C

Das unbestimmte Integral ist also eine Menge von Funktionen.

Auf weitere Detail wir hier verzichtet, da weiter nicht praxisrelevant.

 

Kompliziertere Integrale

Es gibt Funktionen, die sich mit den Integrationsregeln, auf die demnächst eingegangen wird, nicht integrieren lassen.

Mit der Funktion

f(x) = x*e hoch -x² bzw x*exp(-x²)

lässt sich nicht leicht ein Integral herleiten. Man kann eine Wertetabelle erstellen und die Funktionswerte graphisch aufzeichnen.

Das wird hier nun gemacht. Diese Funktion, (x) = x*e hoch -x², soll von 0 bis unendlich  integriert, d.h. die Fläche unter dem Graph berechnet werden.

Die Wertetabelle;

Der Graph:

Man berechne die Fläche eines Rechtecks:

0.1*.025 = 0.0025

Nun zähle man die Häuschen oder die Rechtecke unter der Kurve zusammen:

Die Anzahl der vollständigen Rechtecke beträgt 185.

Wenn man auch die unvollständigen Rechtecke direkt unter der Kurve mitberücksichtigt kommt man auf 200 Rechtecke.

Wir multiplizieren 200 * 0.0025 und erhalten 0.5 =1/2.

Bemerkung:

Je kleiner die Intervalle gewählt werden, desto genauer wird das Ergebnis, weil so die vollständigen Rechtecke kleiner aber zahlreicher werden.

In den Naturwissenschaften kommt es nicht selten vor, das Messresultate graphisch ausgewertet werden, für die es keine mathematische Funktion gibt oder wenn überhaupt, diese Funktion nicht integrierbar ist.

Wir kommen jetzt zu den Integrationsregeln und kommen auf diesen Typ der Integrale noch zurück.

 

Intermezzo: die Partialbruchzerlegung

Um umständlichere Integrale vom Typ

f(x) =1/(a – x)(b – x)

einfacher zu berechnen, ist es oft hilfreich, wenn man den Bruch in Summanden zerlegt:

Das geschieht wie folgt:

 

1/a*b = 1/(a + b)*(1/a + 1/b)

und  

1/a*b =1/(b – a)*(1/a – 1/b)

kontrollen

1/(a + b)[(b + a)/a*b] = 1/a*b

1/(b – a)[(b – a)/a*b] = 1/a*b

Beispiel:

1/(b – x)(c + x) = 1/(b + c)*[1/(b – x) + 1/(c + x)]

Kontrolle: Ausmultiplizieren und man erhält den unzerlegten Bruch zurück.

Auf dieses Beispiel werden wir weiter unten zurückkommen.

Weitere Übungen zur Partialbruchzerlegung werden Sie im Übungsteil finden.

Weitere Beispiele bei den Integrationsmethoden, weiter unten.

 

Integrationsmethoden

Es werden hier einige Methoden vorgestell, die das Integrieren vereinfachen sollen. Es muss jedoch vorweggenommen werden, dass im Gegensatz zum Differenzieren, nicht immer

ein Erfolg zu erwarten ist. Hat man aber eine mögliche Lösung einmal gefunden, kann man durch Ableiten der integrierten Funktion, kontrollieren ob man richtig liegt bzw denselben Integranden

wieder erhält.

Folgende Methoden werden behandelt:

• Substitution
• Partielle Integration
• Integration mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
• Numerische Integration
• Benützung von Integrationsschemen und -Tabellen

Im letzteren Teil kommen wir nochmals zurück auf die nicht integrierbaren Integrale vom Typ e hoch -x² etc.

 

Substitution

Die Substitution als Integrationsmethode kann als Umkehrregel der Kettenregel der Differentialrechnung bezeichnet werden.

Es wird daher empfohlen, dieses Subkapitel der Differentialrechnung zu repetieren. Hier sei die Kurzformel der Kettenregel wiedergegeben:

f(g(x)) = Funktion

f(x) = äussere Funktion

g(x) = innere Funktion

f ‘ (x) =f ‘ (g(x))*g ‘ (x) = Ableitung der Funktion mithilfe der Kettenregel ==> äussere Funktion * innere Funktion

 

Bei der Substitution muss für die zu integrierende Funktion, f(x), vorerst eine innere Funktion bestimmt werden. Diese innere Funktion bezeichnen wir mit u(x).

Diese richtige Wahl von u(x) ist den auch das Schwierige bei der Substitution. Bei einer Funktion z.B. f(x) = sin(x²)*2x dx kann man 2x nicht als u(x) auswählen, es führt zu einem falschen Ergebnis.

Die Funktion u(x) wird abgeleitet = u ‘ (x).

man schreibt nun nach Multiplikation des Ergebnisses von u ‘ (x) mit dx, u ‘ (x)*dx = du

Das Integral muss schliesslich die Form

∫f(u)du

haben und darf kein x enthalten.

Nun integriere man

∫f(u)du = F(u) + C

und u wird wiederum durch x ersetzt. Das Ergebnis des Integrals F(x) + C kann zur Kontrolle mittels Kettenregel differenziert werden und man erhält, falls man für u die richtige Substitution

ausgewählt hat, die Funktion f(x) zurück.

Es gibt zur Substitutionsregel auch eine allgemein Formel, diese lautet:

∫f(u(x))*u'(x)dx = (∫f(u)du)   u = u(x)

Die Anwendung dieser allgemeinen Formel hat jedoch so seine Tücken. Nicht immer gelingt es f(u) so zu bestimmen, dass auf der rechten Seite dieser Formel, ∫f(u)du nur noch der Substituent u aber kein x mehr

vorhanden ist.

Wichtig! Wenn Sie ein Ergebnis erhalten haben, kontrollieren Sie mittels Ableitung mit Kettenregel.

 

Beispiele:

∫f(x) = cos(x²)*2x*dx

u(x) = x²

u ‘ (x) = 2x

du = 2xdx

Das Integral lautet nun mit u:

f(u) =∫cos(u)du = F(u) = sin(u) und da u = x² und du = 2xdx, ergibt das Integral (2x muss man auch mitnehmen)

F(u) + C = sin(x²)*2x + C

Kontrolle: Ableitung mit Kettenregel:

Innere Funktion g(x) = x², g'(x) = 2x

Äussere Funktion f(g(x)) = 1/2sin(u), f ‘ (g(x)) = cos(u), u = x²

Äussere Funktion * innere Funktion: = cos(x²)*2x

 

ein einfacheres Beispiel:

∫f(x) = dx/(b – x)hoch 5/2 = 1/(b – x)hoch5/2*dx= (b-x) hoch -5/2*dx

u(x) = (b – x), -1 = du

(-1)*∫u hoch -5/2*du = 2/3(u) hoch -3/2

(vgl Grundlagen Integralrechnung)

Lösung: u wird ersetzt durch (b-x)

∫f(x) = 2/3(b – x) hoch -3/2 + C

Kontrolle durch Ableitung mit Kettenregel:

f'(x) = (-3/2)(2/3)(b-x) hoch (-3/2 – 1)

u(x) = b – x) u ‘(x) = -1

f ‘(x) =(-1)*(-3/2)*2/3(b – x) hoch -5/2* = (b – x)hoch -5/2

 

 

∫y/√(1 – y²)dy

u = 1 – y²

u’ = -2y

du = -2ydy

Man kann nun schreiben:

ydy = -1/2du

Das substituierte Integral lautet nun:

-1/2*∫1/√u*du = -√u + C

u wird wieder durch 1 – y² ersetzt:

∫y/√(1 – y²)dy = -√(1 – y²) + C

Hier kann man den linken Teil der oben erwähnten Substitutionsformel auch direkt anwenden:

∫f(u(y))*u'(y)dy = ∫y/[√(1 – y²)*-2y]dy = -1/2∫1/√(1- y²) = -√(1 – y²) + C

Achtung : u’y = -2y wird unter dem Bruchstrich ergänzt bzw multipliziert.

das y über dem Bruchstrich wird weggekürzt.

Kontrolle durch Ableitung mit Kettenregel:

-√(1 – y²) + C,

Äussere Funktion = -√u, Äussere Ableitung = -1/2√u = -1/2√(1 – y²)

Innere Funktion = 1 – y², Innere Ableitung = -2y

Äussere Ableitung * innere Ableitung = -1/2√(1 – y²)*(-2y) = y/√(1 – y²)

2 wird weggekürzt.

 

Übung: kontrollieren Sie bei den kommenden Beispielen nun selber, ob die Integrale stimmen, mittels Ableitung durch Kettenregel.

∫(5w + 7)²ººdw

u = 5w + 7, u'(w) = 5 und man kann gleich schreiben

dw = 1/5du

∫1/5*u²ºº*du = u²º¹/(201*5) + C = u²º¹/1005 + C = (5w + 7)²º¹/1005 + C

 

∫e hoch (2v + 3)*dv

u = u(v) = 2v + 3, u'(v) = 2 und somit 2dv = du bzw dv = 1/2*du

∫e hoch u *1/2*du = 1/2*e hoch u + C = 1/2*e hoch (2v + 3) + C

 

Für Integrale mit vorgegebenen Integrations-Grenzen oder mit anderen Worten,

für bestimmte Integrale lautet die allgemeine Formel für die Substitutionsregel wie folgt:

Dazu ein weiteres Beispiel:

∫(3)(-1)√(2x + 3)dx

Die Integrationsgrenzen betragen b = 3, a = -1

Es gibt nun 2 Methoden, wie man dieses bestimmte Integral berechnen kann:

1. direkt mit den Integrationsgrenzen b und a (Abbildung oben linke Seite)
2. mit den vorberechneten Integrationsgrenzen u(b) und u(a)

1. Methode:

∫√(2x + 3)dx, u(x) = 2x + 3, dx = 1/2du

Wie weiter oben dargestellt:

1/2∫(3)(-1)√(2x + 3)dx = 1/2∫(3)(-1)√udu

1/2∫√udu = 1/2*2/3√u³ = 1/3√u³ und das Integral dieser Funktion beträgt somit:

1/3√(2x + 3)³

Nun setzen wir anstelle von x die Integrationsgrenzen ein und erhalten:

für x = 3, 1/3√(2*3 + 3)³ = 27/3

für x = -1, 1/3√(2*(-1) + 3)³ = 1/3

Wert des Integrals beträgt somit (27 – 1)/3 = 26/3

 

2. Methode:

∫[u(b)][u(a)]f(u)du gemäss Abbildung oben rechte Seite

Wir kommen nun zurück zu unserem Beispiel mit dem Substituent u

1/2∫[u(3)][u(-1)]√udu

Zuerst berechnen wir die Integrationsgrenzen u(3) und u(-1)

u(x) = 2x + 3

u(3) = 9, u(-1) = 1

Bei der 1 Methode haben wir für diese Funktion folgendes Integral erhalten:

1/3√u³ durch Einsetzen von u(3) = 9 erhält man 1/3√9³ = 27/3 und analog für u(-1) =1 = 1/3√1³ = 1/3

27/3 – 1/3 = 26/3

(Nebenbemerkung manchmal ist es einfacher anstatt √a, a hoch ½ zu schreiben, beim integrieren kann das helfen)

 

Partielle Integration

Die partielle Integration wird angewendet bei Funktionen dessen Variable: x, y, z oder w etc bei Produkten oder Quotienten zweimal vorkommt oder wenn andere Integrationsmethoden nicht zum Erfolg führen.
Beispiele:

f(x)dx = ∫xe×dx

f(x)dx = ∫xsinxdx

f(x)dx = ∫x/(a + x)dx

aber auch

f(x)dx = ∫lnxdx

f(x)dx = ∫sin²dx

Oft sind bei der partiellen Integration gewisse Tricks gefragt.

a/2∫1/[(1 + √(1 + ax)]dx

Dieses Integral ist sowohl mittels Substitution als auch partieller Integration, also mit 2 Integrationsmethoden, zu lösen.

 

Die partielle Integration basiert auf einer Ableitungsregel: die Summenregel:

(f(x)*g(x)) ‘  =  f ‘ (x)*g(x) + f(x)*g ‘ (x)

Das Integral von f(x)*g(x) ‘ ist aber

∫f(x)*g(x) ‘ = f(x)*g(x) 

und somit

f(x)*g(x)  = ∫f ‘ (x)*g(x)dx + ∫f(x)*g ‘ (x)dx

Um die Integration zu vereinfachen, indem nur f(x) zu integrieren und g(x) abzuleiten ist, wird die Formel wie folgt umgeformt

∫f ‘ (x)*g(x)dx = f(x)*g(x) – ∫f(x)*g ‘ (x)dx

Anstelle von f und g verwendet man oft u und v

∫u ‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v ‘ (x)dx

Anwendung von praktischen Beispielen:

Die Schwierigkeit besteht darin, für u und v die passenden Teilformeln der Funktion zuzuordnen.

Dringend zu empfehlen ist auch bei der partiellen Integration das Ergebnis abzuleiten, um zu überprüfen ob die Lösung stimmt.

Einfacheres Beispiel:

f(x) = 2x*e×dx     (e× = e hoch x, vgl Euler)

Wahl von u‘(x) und v(x)

u‘ (x) = e×, das heisst : u‘(x) = e× ist zu integrieren! Was keine Sache ist denn ∫e×dx = e×

u(x)  = e× (eigentlich müsste man e× + C schreiben, zur Vereinfachung wird C = 0 gesetzt)

v(x) = 2x, das heisst v(x) = 2x ist abzuleiten!

v‘ (x) = 2

Nun setzen wir diese Zwischenergebnisse in den rechten Teil der Formel ∫u‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v‘ (x)dx ein:

e×*2x  – ∫e×*2dx

∫2*e×dx wird nun integriert = 2*e×dx und wir erhalten für

∫f(x) = ∫2x*e×dx = e×*2x – 2e× + C = 2e×(x – 1) + C

Kontrolle: Ableitung mit Summenregel (fg)’ = f’ g + fg’

f = 2e×, g = (x – 1)

2e×(x – 1) + 2e× = 2x*e× – 2e× + 2e× = 2x*e×

bitte nachrechnen!

 

Beim nächsten Beispiel braucht es einen Trick:

∫2lnxdx = 2*lnxdx

Wahl von u‘(x) und v(x)

u’ (x) = 2 und somit

u(x) = 2x

v(x) = lnx

v’ (x) = 1/x

Nun gemäss allgemeiner Formel: ∫u‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v‘ (x)dx

2xlnx – ∫2x*1/xdx = 2xlnx – 2x + C = 2x(lnx -1) + C

Die Kontrolle durch Ableitung mittels Summenregel ist einfach:

f = 2x, g = lnx – 1

2(lnx – 1) + 2x*1/x – 0 = 2*lnx – 2 + 2 = 2lnx

 

Auch das nächste Beispiel geht nicht ohne Trick:

∫cos²xdx = 1/2[(x + sin(x)*cos(x)] + C

Wahl von u'(x) und v(x)

u’ (x) = cos(x)

u(x) = sin(x)

v(x) = cos(x)

v’ (x) = -sin(x)

Soweit alles in gewohnter Manier.

Will man nun jedoch die Formel ∫u‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v‘ (x)dx anwenden, gelangt man in eine Unendlichkeits-Schlaufe:

sin(x)*cos(x) + ∫sin²(x)dx

Wenn nun ∫sin²(x)dx integriert wird, erhält man folgenden Ausdruck:

-sin(x)*cos(x) + ∫cos²(x)dx 

Soweit ist man jedoch gleich weit wie am Anfang:

Nun aus der Trigonometrie wissen Sie, dass cos²(x) + sin²(x) = 1 ist.

Und somit: sin²(x) = 1 – cos²(x)

Nun ersetzen wir die zu integrierende Funktion ∫cos²xdx mit E: Und wir schreiben nun auf was wir soweit erreicht haben:

E = ∫cos²(x)dx = sin(x)*cos(x) + ∫sin²(x)dx oder = sin(x)*cos(x) + ∫1 – cos²(x)dx

und schreiben folgende Beziehung auf:

∫[1 – cos²(x)]dx = x – E

Nun lösen wir folgende Gleichung nach E auf

E = sin(x)*cos(x) + x – E

2E = sin(x)*cos(x) + x

E = ∫cos²xdx = 1/2[(x + sin(x)*cos(x)] + C

Kontrolle durch Ableitung (Summenregel):

1/2[( 1 – sin²(x) + cos²(x)] = 1/2[cos²(x) + cos²(x)] = 1/2[2cos²(x)] = cos²(x)

NB: 1 – sin²(x) = cos²(x)

 

Ein komplizierteres Beispiel:

∫f(x) = ∫adx/2[(1 + √(1 + ax)] = a/2∫dx/[(1 + √(1 + ax)]

Um diese Funktion zu integrieren, braucht es beide der bisher behandelten Methoden: Die Substitution und die partielle Integration.

Zuerst substituieren wir 1 + √(1 + ax) und leiten diesen Nenner mit Hilfe der Kettenregel ab:

u(x) = 1 + √(1 + ax)

u’ (x) = a/2√(1 + ax)

Nun gehen wir genau gleich vor wie beim 2. Beispiel des Subkapitels Substitution:

bzw wie beim Integral:

und wenden die Formel der Substitution an:

Das Integral sieht nun wie folgt aus:

Achtung: u’ (x) = a/2√(1 + ax) muss unter dem Bruchstrich angebracht und multipliziert werden!

∫f(x) = a/2∫dx/[(1 + √(1 + ax)]*a/2√(1 + ax) = a/2∫2/a*√(1 + ax)/[(1 + √(1 + ax)]dx nach Bruchdivision

und vereinfacht nach Kürzung durch a/2

∫f(x) = ∫√(1 + ax)/[(1 + √(1 + ax)]dx

Nun vereinfachen wir weiter und ersetzen (1 + √(1 + ax) durch w

und erhalten

∫f(w) = ∫(w – 1)/wdw

Dieses Integral wird nun mittel partieller Integration gelöst:

u’ (w) = w – 1

u(w) = w²/2 – w

v(w) = 1/w

v’ (w) = -1/w²

Und wir gehen wie gewohnt analog vor: Mit der bereits bekannten Formel für die partielle Integration:

∫u‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v‘ (x)dx

∫f(w) = ∫(w – 1)/wdw

∫f(w) = 1/w(w²/2 – w) + ∫(1/w²(w²/2 – w)dw = 1/w(w²/2 – w) + ∫(1/2 – 1/w)dw

= w/2 – 1 + w/2 – lnw = w – 1 – lnw

Wir setze w = (1 + √(1 + ax) zurück und erhalten

∫f(x) = ∫adx/2[(1 + √(1 + ax)] = √(1 + ax) – ln(1 + √(1 + ax) + C

Kontrolle: Übung

diese beiden Summanden lassen sich mittels Kettenregel ableiten und addieren.

Prüfen Sie es selbst nach mittels Übung auf der Übungsseite!

 

Integration mit Hilfe der Partialbruchzerlegung

Weiter oben wurde die Partialbruchzerlegung kurz angeschnitten. Handelt es sich bei Funktionen, die zu integrieren sind, um Brüche deren Nenner aus einem Produkt besteht,

so ist es für die Integration oft hilfreich, wenn man diese Brüche in Summanden zerlegt.

Beispiel:

f(x) = ∫1/(a – x)*(b – x)dx

Vorerst erstellen wir die Partialbruchzerlegung

Die 2 Summanden lassen sich nun mittels Substitutionsmethode integrieren, was soeben oben behandelt worden ist.

Das Resultat der integrierten Funktion sieht wie folgt aus:

Zur Kontrolle lässt sich wie folgt umformen

1/(b – a)[ln(b – x) – ln(a – x)]

und mit Kettenregel erhält man die ursprüngliche Funktion zurück.

 

Das nächste Beispiel dürfte etwas kniffeliger sein.

f(x) = 1/(d – 2x)*(e – 3x)dx

denn die Variable verschwindet nicht bei der Ausklammerung.

Wir müssen nun diese Funktion so umgestalten, damit der Multiplikatorbruch von den Variablen befreit ist.

Dieses Integral lässt sich mit der Substitutionsmethode summandenweise berechnen. Das Resultat sieht wie folgt aus:

Achtung! ln(3d – 6x) – ln(2e – 6x) = ln(3d – 6x)/(2e – 6x)] vgl Kapitel Euler logarithmen

 

Numerische Integration

Die Simpson-Formel

Sie haben eine Funktion und sollen daraus ein bestimmtes Integral von a bis b (bzw. die Fläche von x = a bis x = b).

Nun lässt sich diese Funktion nicht integrieren oder es fehlen Ihnen die dazu notwendigen Kenntnisse etc.

Es gibt dazu eine vereinfachte Methode, das bestimmte Integral zu berechnen auch ohne die Funktion zu integrieren.

Bei der Simpson-Formel werden 3 Funktionswerte berechnet (f(a), f(b) und f(a + b)/2) und das Integral kann wie folgt berechnet werden.

Obwohl der Wert etwas abweicht von der üblichen Integration, stimmen die Resultate verblüffend gut überein.

 

Beispiele:

Das bestimmte Integral von

∫(3)(-1)√(2x + 3)dx

das weiter oben mittels Substitutionsmethode auf 2 Arten berechnet worden ist, beträgt 26/3 = 8.666

Wir wenden nun die Simpson-Formel an:

a = -1, f(a) = y0 = 1

b = 3, f(b) = y2 = 3

(a + b)/2 = f(1) = y1 = √5

(b – a)/6 = 4/6 = 2/3

Nun setzen wir diese Ergebnisse direkt in die Simpson-Formel ein:

2/3*(1 + 4*√5 + 3) = 8,6295

Wie gesagt, ist nicht exakt aber annähernd genau.

 

Im nächsten Beispiel kommen wir auf die eFunktion zurück, die ganz am Anfang mittels Flächenberechnung integriert worden ist.

Wir haben versucht, dieses Integral manuell mittels Flächenberechnung zu ermitteln. Hier nochmals die Wertetabelle:

Für diese Funktion versuchen wir nun mit Hilfe der Simpson-Formel von x = 0 bis x = 0 2,2 zu integrieren. Wir haben diese Funktion in die Simpson-Formel übernommen und dazu

eine Excel-Formel erstellt. Somit

b = 2,2, 

a = 0

y0 = f(b) = f(2,2) = 2.2*ehoch(-2.2*2.2)

y1 = f(a – b)/2 = 2,2/2*ehoch(-2,2/2*2,2/2)

y2 = 0

Die Excel-Formel lautet: für b = B1 und a = A1 und C1 = Ergebnis des Integrals:

=(B1*EXP(-B1*B1))*(B1-A1)/6+4*(B1+A1)/2*EXP(-(B1+A1)/2*(B1+A1)/2)*(B1-A1)/6+(A1*EXP(-A1*A1))*(B1-A1)/6

Wenn man ins Feld B1 =2,2 setzt erhält man 0,487469…. ∼ 0.5 = 1/2

Mit der Simpson-Formel lassen sich die Integrationsgrenzen auch beliebig bestimmen innerhalb des Definitionsbereichs x = 0 bis x = 2,2

für a= 1 und b = 2 erhält man 0,1728….

 

Benützung von Integrationsschemen und Tabellen

Spezielle unbestimmte Integrale (die Konstante C wird jeweils weggelassen)

Unten finden Sie eine Sammlung bestimmter und unbestimmter Integrale:

F(x) ist die integrierte Funktion von f(x). In Lehrbüchern wird F(x) auch als Stammfunktion bezeichnet.

Unbestimmte Integrale: Rationale Funktionen

Unbestimmte Integrale: Quadratwurzel-Funktionen

1) arcsin, arccos, arctan und arccot (auch als  “Arcusfunktionen” oder “zyklometrische Funktionen” bekannt) sind Umkehrfunktionen von sin, cos, tan und cot,

bzw der trigonometrischen Funktionen die bekannt sind. 

Beispiel: sin30 = 1/2.

Wenn man bei arcsinx für x = 1/2 einsetzt, erhält man den gesuchten Winkel im Bogenmass = ¶/6 = 180/6 = 30.

Beispiel: tan30 = 0,57735

Diesen Wert setzen wir als x = 0,57735 in arctanx ein. arctan 0.57735 = 0,52359, dies ist der gesuchte Winkel im Bogenmass!

Die Umrechnung in Grad lautet 180*0.52359/¶ ≅ 30 (29.987) und wir erhalten den Winkel von 30 zurück.

Arcusfunktionen kann man mit Excel berechnen.

Nun noch einige unbestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen:

Unbestimmte Integrale: Einige trigonometrische Funktionen

Nun kommen wir noch zu einigen bestimmten Integralen: Meistens gehen dabei die Integrationsgrenzen 0 bis ∞, von -∞ bis ∞ oder von 0 bis 2¶.

Bestimmte Integrale: Einige trigonometrische Funktionen

Bei den ersten beiden Funktionene (siehe Bild oben) beträgt das bestimmte Integral = 0, falls sich m und n unterscheiden, dabei ist zu berücksichtigen,

dass m und n ganze Zahlen sein müssen, dasselbe gilt auch für die dritte Funktion (= 0), m,n ∈ Z

Bestimmte Integrale: Einige Euler-Funktionen vom Gauss-Typ

Bei der letzten Funktion oben sollten für n nur natürliche Zahlen verwendet werden: n ∈ N

Literaturhinweis

Für Mittel- und Berufsschüler: Formeln und Tafeln, Mathematik – Physik, Orell Füssli Verlag Zürich, ISBN 3 280 01496 4 bzw das gelbe Buch

Für Studenten technischer Hochschulen: u.a: M. Abramowitz und I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions

 

 

 

 

 

---

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---