Differentialgleichungen

In den vorhergehenden Kapiteln wurde das Wesentliche über die Differential- und Integralrechnung behandelt. Nun geht es um eine weitere Anwendung der Gleichungslehre.

Bisher bestand die Aufgabe darin, aus irgend einer Gleichung, z.B. ax + b = cx + d, den Wert von x zu suchen und zu bestimmen. Die Gleichung wird nach x aufgelöst. Für x erhält man einen Wert der sich aus

a, b, c und d zusammensetzt. Die Lösung dieser Gleichung lautet:

x = (d – b)/(a – c)

Kontrollieren kann man dieses Resultat durch einsetzen in die obige Gleichung. ax + b = cx + d.

Man erhält auf beiden Seiten links und rechts der Gleichung dieselben Ausdrücke, nämlich (ad – cb)/(a – c)

Diese Prozedere ist besonders wichtig, wenn Sie Differentialgleichungen mühelos lösen wollen: Um was geht es genau? Was ist hier gesucht?

Bei der Differentialgleichung ist die Lösung nicht eine Zahl sondern eine Funktion.

Das Problem besteht nicht nur darin, eine Lösung, also die Funktion, zu finden sondern auch das Aufstellen der Differentialgleichung.

Letzteres geschieht vor allem aufgrund von wissenschaftlichen Experimenten. Wir werden uns in diesem Kurs vorwiegend auf deren Lösung konzentrieren.

 

Beispiele von Differentialgleichungen

f ‘(x) = -a*f(x) z.B. radioaktiver Zerfall

f ‘(x) = b*f(x) z.B. Wachstum von Populationen

k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)] z.B. Ausbreitung einer Infektion: k(t) = Anzahl der Infizierten zur Zeit t, [M – k(t)] = Anzahl der Gesunden zur Zeit t, M = Anzahl der Individuen (Menschen)

m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)),  K > 0  z.B. eine chemische Reaktion: E + D ==> P d.h. E und D reagieren zu P. Zur Zeit t beträgt die Konzentration des Stoffes E und D jeweils e – m(t) und d – m(t). Die Konzentrationen der Edukte E und D nehmen jeweils mit der Zeit ab. Zu Beginn, t = 0, ist P = 0. Wir haben noch keine Produkte aber E und D entsprechen den Anfangskonzentrationen. K muss grösser als 0 sein, weil die P mit der Zeit zunimmt.

K’ (t) = D(K – K(t)) z.B. Diffusion, die gleichmässige Verteilung eines Stoffes in einem Raum dessen Volumen konstant bleibt. Das Fick’sche Gesetz.

Diese Differentialgleichungen werden hier behandelt.

 

Schwierigere Beispiele

Mf ”(x) = -K*f(x), K > 0 z.B. Die Federkraft nach dem Hookschen Gesetz

Mf”(x) = -K*f(x) – R*f'(x), K,R > 0. Bei der Federkraft oben wird auch die Reibung berücksichtigt.

Die letzten beiden Gleichungen werden in einer höheren Mathematik-Lektion bearbeitet. Mathematik für Naturwissenschafter in Bearbeitung.

 

Wesentliches über Differentialgleichungen

Nochmals, bei den Differentialgleichung ist eine Funktion f(x) gesucht. Die Unbekannte ist also eine Funktion mit einer oder mehreren Variablen. Daher wird zunächst unterschieden zwischen

a) Gewöhnlicher Differentialgleichung, die gesuchte Funktion hat nur eine Variable.

und

b) Partieller Differentialgleichung, die gesuchte Funktion hat mehrere Variablen.

In diesem Kurs werden nur gewöhnliche Differentialgleichungen behandelt.

In den obgenannten Beispielen wären die gesuchten Funktionen f(x), k(t), m(t) und K(t).

Zur Vereinfachung und Übersichtlichkeit sollen die Variablen jeweils mit x und die gesuchte Funktion, f(x), mit y = y(x) bezeichnet werden.

So könnten die genannten Beispiele oben wie folgt aussehen:

1. f ‘(x) = -a*f(x), y’ = -ay
2. f ‘(x) = b*f(x), y’ = by
3. k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)], y’ = cy(M – y)
4. m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)), y’ = A(e – y)(d – y)
5. K’ (t) = D(K – K(t)), y’ = D(K – y)
6. Mf ”(x) = -K*f(x), My” = -Ky
7. Mf”(x) = -K*f(x) – R*f'(x), My” = -Ky-Ry’

Bei den Differentialgleichungen der ersten Ableitung, y’, spricht man von 1. Ordnung, der zweiten Ableitung, y”, von 2. Ordnung.

 

Differentialgleichungen die nach y’ aufgelöst sind, werden als explizit bezeichnet. Die folgenden beiden Gleichungen

y’ = f(x)

y’ = f(x,y)

sind explizit und 1. Ordnung, wobei bei y’ = F(x,y) die Funktion F zwei Variable hat.

Beispiele:

y’ = x + y² + 3

y’ = y – sinx

aber

y’ + x = tany’ – y

ist nicht explizit!

Bei den obgenannten Beispielen 1) bis 6) besteht die rechte Seite stets aus einer Funktion y allein. Die rechte Seite kann aber auch nur von x abhängen:

y’ = x²

 

Lösungsansätze

Es werden hier vorallem explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung behandelt.

y’ = f(x,y)

Es wird empfohlen, das bereits erworbene Wissen über Differential- und Integralrechnung immer wieder zu repetieren.

einfache Beispiele:

explizite Differentialgleichungen

1. y’ = x
2. y’ = 2x
3. y’ = x²
4. y’ = y
5. y’ = 2xy

1 – 3: Die rechte Seite der Gleichung enthält nur x

Bei 4. enthält die rechte Seite y und bei Beispiel 5 x und y.

Lösungen

1. y = x²/2 + C
2. y= x² + C
3. y = x³/3 + C
4. y = Ce×  (e× = e hoch x)
5. y = Ceײ (eײ = e hoch x²)

Kontrolle

1) linke Seite, y = x²/2 + C, y’ = dy/dx = 2x/2 + 0 = x, somit linke Seite = rechte Seite = x

2) linke Seite, y = x² + C, y’ = dy/dx = 2x + 0 = 2x, = rechte Seite

3) linke Seite, y = x³/3 + C, y’ = dy/dx = 3x²/3 = x², = rechte Seite

4) linke Seite, y = Ce×, y’ = dy/dx = Ce×, = rechte Seite

5) Um Ceײ abzuleiten brauchen wir die Kettenregel: äussere Funktion, kann man direkt hinschreiben f(x) =  Ce hoch u, f'(x) = Ce hoch u. innere Funktion f(x) = x², f'(x) = 2x. y’ = innere Funktion * äussere Funktion

= 2x*Ceײ das ist die linke Seite und die ist identisch mit der rechten Seite 2xy weil y = Ceײ ist.

Wie Sie sehen lassen sich bei diesen Beispielen die Lösungen erraten.

Anmerkungen

Bei den Beispielen 1) -3) der expliziten Differentialgleichungen erhält man die Lösung von y bzw von f(x) durch die Integration nach dx. Dasselbe gilt für Beispiele 4) und 5), wobei hier die Eulersche Funktion

e× zum Zuge kommt.

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen enthalten eine Konstante C und das ist wichtig zu wissen, den dieses C sagt nicht anderes aus, das die Lösung allgemeiner Natur ist. Die Konstante C kann aber auch als Multiplikator auftreten, hier insbesondere bei gefundenen e-Funktionen, bei Ceײ. Diese allgemeine Lösung kann unendlich viele Lösungen haben.  Um eine spezielle Lösung zu erhalten, müssen wir die Anfangsbedingungen (Xo, Yo) festlegen. Man lässt sich irgendwelche Zahlen für  Xo, und Yo geben und bestimmt so  f(Xo) = Yo. Daraus ergibt sich die spezielle Lösung.

Bei Beispiel 1) haben wir für die explizite Differentialgleichung, y’ = x folgende allgemeine Lösung gefunden

y = f(x) = x²/2 + C, Die vorgegebene Anfangsbedingung sei Xo = 2 und Yo = 4, das bedeutet folgendes:

f(Xo) = f(2) = 4/2 = 2, wobei Yo = 4, man löst nun folgende Gleichung nach C auf:

Yo = f(Xo) + C bzw 4 = 2 + C ==> C = 2

Die spezielle Lösung lautet somit mit den Anfangsbedingungen: Xo = 2 und Yo = 4

y = x²/2 + 2

Bei Beispiel 4), y’ = y lautet die allgemeine Lösung

y = f(x) = Ce×, die Anfangsbedingung sei Xo = 1 und Yo = 2, folgende Gleichung lautet somit, 2 = Ce, und nach C gelöst: C = 2/e

Die spezielle Lösung mit Anfangsbedingung Xo = 1 und Yo = 2

y = 2/e*e×

Es sei hier noch hingewiesen, dass explizite  Differentialgleichungen höherer Ordnung (2. und n-ter Ordnung) 2  bzw n Integrationskonstanten haben.

Beispiel: y” = x,  y’ = 1/2x² + C,  y = 1/6x³ + Cx + D

 

Explizite Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Eine lineare Funktion 1. Ordnung sieht wie folgt aus:

f(x) = ax + b

Analog lässt sich eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung wie folgt darstellen:

y’ = ay + b

wobei a und b Funktionen von x sind. z.B wenn a = g(x) und b = h(x), sieht die Differentialgleichung so aus:

y’ = g(x)y + h(x)

y ist die gesuchte Funktion f(x) .

Von den ganz oben erwähnten Beispielen 1) – 7) hier nochmals erwähnt:

1. f ‘(x) = -a*f(x), y’ = -ay
2. f ‘(x) = b*f(x), y’ = by
3. k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)], y’ = cy(M – y)
4. m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)), y’ = A(e – y)(d – y)
5. K’ (t) = D(K – K(t)), y’ = D(K – y)
6. Mf ”(x) = -K*f(x), My” = -Ky
7. Mf”(x) = -K*f(x) – R*f'(x), My” = -Ky-Ry’

sind 1), 2) und 5) linear, 3) und 4) sind nicht linear.

Beispiele 6) und 7) sind lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Des weiteren wird eine lineare Differentialgleichung als homogen bezeichnet, wenn h(x) = 0 ist, wenn h(x) ≠ 0 als inhomogen.

Ein wichtiger Lösungsansatz wird sein, zuerst die homogene Gleichung y’ = g(x)y zu lösen. Danach mit der sog. Methode  “Variation der Konstanten” die Lösung finden.

Der Lösungsvorgang lautet somit:

1. Die homogene Differentialgleichung lösen.
2. Lösung mittels “Variation der Konstanten”.

 

1) Homogene Gleichung

y’ = g(x)y 

Die Lösung lautet: (Integral mit Anwendung der Substitutionsregel)

y = Ke (hoch) ∫g(x) oder y = Ke (hoch) G(x)     (K ist irgend eine Konstante)

∫g(x) = G(x),

G(x) ist das Integral von ∫g(x). Man sagt auch, G(x) ist irgend eine Stammfunktion von g(x). Den G'(x) = g(x)

Kontrolle:

y = Ke (hoch) G(x) abgeleitet nach dx unter Anwendung der Kettenregel:

Ke (hoch) G(x)*G'(x) = g(x)*Ke (hoch) G(x) = g(x)*y

 

2) “Variation der Konstanten”

In diesem 2. Schritt machen wir mit dem Resultat der homogenen Gleichung, y = Ke (hoch) G(x),  folgenden Ansatz:

Wir ersetze K durch K(x), also eine Funktion die noch unbekannt ist.

y = K(x)e (hoch) G(x)

Wir leiten nun diese Gleichung ab. (Produkt- und Kettenregel) und erhalten:

y’ = K'(x)e (hoch) G(x) + K(x)g(x)e (hoch) G(x)      Achtung: G'(x) = g(x)

Diesen erhaltenen Ausdruck wird nun mit

y’ = g(x)y + h(x)

gleichgesetzt. 

K'(x)e (hoch) G(x) + K(x)g(x)e (hoch) G(x) = g(x)y + h(x)

da y = K(x)e (hoch) G(x)

lautet die Gleichung vereinfacht:

K'(x)e (hoch) G(x) = h(x) und nach K'(x) aufgelöst:

K'(x) = h(x)e (hoch) -G(x) wenn man K'(x) integriert, lautet der Ausdruck rechts

K(x) = ∫h(x)e (hoch) -G(x)dx + C

Diesen Ausdruck für K(x) setzen wir nun in y = K(x)e hoch G(x) ein und erhalten:

y = (∫h(x)e (hoch) -G(x)dx + C)e hoch G(x)

oder einfach

y = (K(x) + C)e hoch G(x)

K(x) ist die integrierte Funktion oder die Stammfunktion von h(x)e hoch -G(x)

 

Praktische Anwendungen von expliziten linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung

Die soeben beschriebene Herleitung soll nun anhand von praktischen Beispielen geübt werden.

1) y’ = y – 2x²

Wir bestimmer zuerst die Homogene Gleichung und dann die Variation der Konstante:

Homogene Gleichung:

y’ = y  die Lösung ist einfach und lautet y = Ke×

Variation der Konstante, K zu K(x):

y = K(x)e× dies wird nun abgeleitet (Produkteregel) und daraus wird:

y’ = K'(x)e× + K(x)e×

Die beiden Ausdrücke werden nun in die inhomogene Gleichung y’ = y – 2x² eingesetzt und die daraus erhaltene Gleichung nach K'(x) gelöst:

y’ = y – 2x² ===>K'(x)e× + K(x)e× = K(x)e× – 2x² dabei fällt K(x)e× weg und es bleibt;

K'(x)e× = -2x² und somit K'(x) = -2x²/e× nun wird K'(x) integriert:

K(x) = ∫K'(x)dx = -2∫x²/e×dx  2 mal partiell integrieren

K(x) = 2x²/e× + 4x/e× + 4/e× + C und da y = K(x)e×

y= (2x²/e× + 4x/e× + 4/e× + C)e× = 2x² + 4x+ 4 + 2Ce×

Kontrolle

Wir leiten zuerst y ab

y’ = dy/dx = 4x + 4 +2Ce×

Wir setzen nun bei y – 2x², y = 2x² + 4x+ 4 + 2Ce× ein.

2x² + 4x+ 4 + 2Ce× – 2x² = 4x + 4 + 2Ce×

Was zu beweisen war.

 

2) y’ = x + 2 – y = -y +(x + 2)

Homogene Gleichung:

y’ = -y

y = K/e× (oder y = Ke hoch -x)

Variation der Konstanten:

Der Ansatz lautet

y = K(x)/e× und y’ = K'(x)/ex – K(x)/e× (Produkteregel)

y’ = –y + x + 2 = –K(x)/e× + x + 2

somit

K'(x)/ex – K(x)/e× = –K(x)/e× + x + 2  |-K(x)/e× fällt weg und es bleibt:

K'(x)/ex = x + 2 oder K'(x) = e×(x + 2)

K'(x) wird nun integriert:

∫K'(x) = K(x) = ∫xe×dx + 2∫e×dx

(∫xe×dx partielle Integration) K(x)= e×(x – 1) + 2e× + C = e×(x + 1) + C

y = K(x)/e× = [e×(x + 1) + C]/e× = x + 1 + C/e×

Kontrolle

–y + x + 2 = –(x + 1 + C/e×) + x + 2 = 1 – C/e×

y’ = dy/dx = (x + 1 + C/e×)/dx = 1 – C/e×

Was zu beweisen war. Ableitung C/e× mit Quotientenregel  

 

Beispiel:

y’ = my + n  (m ≠ 0)

m und n seien reelle Zahlen. Es handelt sich hier um eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die allgemeine Lösung der dazu gehörenden homogenen Gleichung

y’ = my

kennen wir bereits, wie oben hergeleitet, können wir schreiben y = Ce hoch mx (Achtung! my ist positiv!)

Nehmen wir an, dass die Differentialgleichung y’ =my + n  eine Stelle hat, wo die Steigung =0 ist bzw 0 = my + n wird nach y aufgelöst:

==> y = -n/m

-n/m ist eine spezielle Lösung der inhomogene Gleichung: Setzen wir -n/m in die Gleichung y’ = my + n ein. Ersetze y durch -n/m:

-m*n/m +n = 0 und y’ = (-n/m)’ = 0  

y = Ce hoch mx – n/m ist somit die allgemeine Lösung.

Kontrolle:

Wir setzten nun die soeben erhaltene allgemeine Lösung in die Differentialgleichung, y’ = my + n, ein:

linke Seite: y’ = C*m*e hoch m*x  (1. Ableitung von y = C*e hoch m*x – n/m nach dx)

rechte Seite: m*(C*e hoch m*x – n/m) + n = C*m*e hoch m*x -m*n/m +n = C*m*e hoch m*x

Analog lässt sich auch obiges Beispiel 5) berechnen:

K’ (t) = D(K – K(t)), y’ = D(K – y) 

0 = DK – Dy, y = K

Lösung: y = C*e hoch -Dx + K 

Bitte rechnen Sie selber nach!

 

3. Weiterer Lösungsansatz: Separation der Variablen

Hier wird noch eine weitere Lösungsmethode vorgestellt: Die Variablen werden getrennt bzw separiert. Diese Methode findet immer dann Anwendung, wenn die Differentialgleichung die folgende Form aufweist:

y’ = k(x)*l(y)

Die rechte Seite besteht aus einem Produkt von zwei Funktionen mit je einer Variablen von x und von y. Bevor wir pratische Beispiele durchrechnen, um zu einer Lösung zu kommen, werden folgende 4 Schritte vorgeschlagen:

1. Die Differentialgleichung wird etwas umgeformt: y’ wird durch dy/dx ersetzt.
2. Alle Ausdrücke mit y werden auf die linke Seite und alle diejenigen mit x auf die rechte Seite verschoben. Man muss daher mit dx multiplizieren und die obige Differentialgleichung hat nun die folgende Form: dy/l(y) = k(x)dx.
3. Auf beiden Seiten bildet man das unbestimmte Integral: ∫dy/l(y) = ∫k(x)dx + C. Die beiden Integrale werden wie folgt zusammengefasst: L(y) = K(x) + C. L(y) ist nun eine integrierte Funktion von 1/l(y) und K(x) eine von k(x). Man kann nun y “implizit”als Funktion von  x bezeichnen. Das ist auch der Grund, weshalb die Integrationskonstante nur auf der rechten Seite zu erscheinen hat aber nicht vergessen werden darf!
4. Nun löst man nach y auf

Als fünfter Schritt wäre noch nachzuprüfen, ob es auch konstante Lösungen gibt. Darauf kommen wir weiter unten zurück, wo es mitunter um die Frage geht, ob eine Differentialgleichung mehrere Lösungen haben kann oder ob sie eindeutig ist.

Beispiele

Wir behandeln vorerst ein einfaches Beispiel, nämlich dasjenige, das weiter oben schon gelöst worden ist:

y’ = 2xy und gehen gemäss obigem Schema vor:

1. Umformung : dy/dx = 2xy
2. Separierung: dy/y = 2x
3. Beide Seiten integrieren: ∫1/y*dy = ∫2xdx. Integral ergibt: lnIyI = x² + C  Achtung: Absolutstriche beachten!
4. Lösung nach y: Zuerst auf beiden Seiten die Eulersche Exponentialfunktion einführen, damit links ln verschwindet: IyI = e hoch(x²+ C) e hoch (x² + C) kann auch ausgedrückt werden mit e hoch x² * e hoch C und durch ersetzen  e hoch C =L, wo L auch als Konstante gilt. Die vorläufige Lösung sieht nun wie folgt aus IyI = L*e hoch x². Nun werden noch die Betragsstriche beseitigt: y = ±L*e hoch x² nun können wir ±L durch K ersetzen: K = ±L und die allgemeine Lösung lautet: y = K*e hoch x² oder y = Ceײ. ( siehe weiter oben: einfache Beispiele, explizite Differentialgleichungen, Beispiel 5: y’ = 2xy)

K gilt als beliebige Konstante. Wenn K = 0 ist dann ist auch y = 0 und wir haben eine Konstante Funktion. Diese ist in der Lösung inbegriffen.

Beispiel 5: Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten y’ = D(K – y) Dieses Beispiel wurde oben unter Variation der Konstanten schon mal gelöst.

Die ersten 3 Schritte gemäss obigem Schema können wir mal hinschreiben:

1. dy/dx = D(K – y)
2. dy/(K – y) = Ddx
3. ∫dy/(K – y) = ∫Ddx + C, Integral ergibt: -lnIK – yI = Dx + C und das Minuszeichen nach rechts verschoben lnIK – yI = -Dx – C und schon  sind wir bei Schritt 4
4. ln wird mit der Eulerschen Exponentialfunktion eliminiert: IK – yI = e hoch (-Dx – C), Wie im obigem Beispiel: e hoch -C = L* und somit L = ±L = ±e hoch -C und dazu die allgemeine Lösung y = Le hoch -Dx + K. 

Wenn man L =0 setzt, erhält man y = K. Dies ist eine konstante Lösung der Differentialgleichung und ist in der allgemeinen Lösung: y = Le hoch-Dx + K inbegriffen.

*Anstatt L können Sie auch wieder C wählen, wie im selben Beispiel weiter oben.

Weiteres Beispiel;

y’ = -2x/y, 1) dy/dx, 2)ydy = -2xdx, 3) ∫ydy = ∫2xdx + C ===> y²/2 = -x² + C und nun Auflösung nach y²: y² = -2x² + 2C = 2(C – x²)

Man setze die Quadratwurzel und erhält 2 Lösungen: y1 = √[2(C – x²)] und y2 = -√[2(C – x²)]

Kontrolle: zuerst leiten wir y1 ab mit Kettenregel: y1′ = -2x/√[2(C – x²)] und y2′ = 2x/√[2(C – x²)]

Kontrolle durch Einsetzen in -2x/y1 =-2x/√[2(C – x²)] = y1′ und -2x/y2 = -2x/-√[2(C – x²)] = y2′ nach Wegfall der Minuszeichen.

Beachten Sie folgendes:

Die Gleichung y = -2x/y macht nur für y ≠ 0 Sinn: Es gibt hier keine Konstante Lösungen. y1 und y2 stellen hier 2 Halbkreise dar. y1 oberhalb und y2 unterhalb der x-Achse.

 

Weiteres Beispiel:

y’ = ax(y – 1)² Erste 2 Schritte ergeben dy/(y – 1) = axdx und Schritt 3 Integration auf beiden Seiten – 1/(y – 1) = ax²/2 + C

Schritt 4 nach y aufgelöst: y = 1 – 2/(ax² + 2C) 

Kontrolle: die Ableitung ergibt: y’ = 4ax/(ax² + 2C)² und Resultat von y in Gleichung y’ = ax(y – 1)² eingesetzt ax*[1 – 2/(ax² + 2C) – 1]² = 4ax/(ax² + 2C)² was zu beweisen war.

Mit y= 1 hat die Differentialgleichung eine konstante Lösung, aber sie ist kein Spezialfall der allgemeinen Lösung. Man nennt die Lösung    y = 1 auch singuläre Lösung, weil sie kein Spezialfall der allgemeinen Lösung ist. Für beliebig grosse ICI = ⇒ ± ∞ schmiegt sich y der konstanten Funktion y = 1 an.

 

Weiteres Beispiel

Im nächsten Beispiel handelt es sich um eine Differentialgleichung, für die es keine explizite Form gibt:

y’ = 2x/(1 – siny) Wir beschreiten wieder den üblichen Lösungsweg der Separation:

1. dy/dx = 2x/(1 – siny), 2) (1 – siny)dy = 2sdx, 3) ∫(1 – siny)dy = ∫2xdx = y + cosy = x² + C, Die Lösung existiert nur in der impliziten Form.

Weiteres, aber etwas schwierigeres Beispiel:

Wir behandeln eine nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung:

Bitte repetieren Sie hiezu kurz die Vorlesung Integralrechnung, http://www.ibusciencecollege.com/?course=einfuhrung-in-die-integralrechnung und insbesondere das Beispiel mit Partialbruchzerlegung. Gehe zum Subkapitel “Integration mit Hilfe der Partialbruchzerlegung”

Hier nochmals die Abbildung

 

y’ = b(M – y)(N – y), M ≠ N

Von den Beispielen 1) bis 7) behandeln wir hier Bespiel 4)

4. m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)), y’ = A(e – y)(d – y)

Weil auf der rechten Seite nur die Variable y erscheint, kann man auch hier die Methode, Separation der Variablen, anwenden.

1) dy/dx = b(M – y)(N – y), 2) dy/(M – y)(N – y) = bdx, 3)∫dy/(M – y)(N – y) = ∫bdx, die linke Seite wird nun in Partialbrüche zerlegt:

1/(M – y)(N – y) = 1/(N – M)[1/(y – N) – 1/(y – M)] und das Integral in 3) lautet somit:

∫1/(N – M)[1/(y – N) – 1/(y – M)]dy = ∫bdx und nach Umformung zur Vereinfachung:

∫[1/(y – N) – 1/(y – M)]dy = ∫b(N – M)dx die rechte Seite kann man direkt ermitteln: = b(N – M)x + C

und die linke Seite:

lnIy -NI – lnIy – MI oder lnI(y – N)I/I(y – M)I also

lnI(y – N)I/I(y – M)I = b(N – M)x + C

Wir wenden nun eine Euler’sche Regel an und eliminieren die Absolutstriche: Bsp. e hoch lna = a

I(y – N)I/I(y – M)I = e hoch [b(N – M)x + C] = e hoch b(N – M)x*e hoch C

(y – N)/(y – M) = ±e hoch b(N – M)x*e hoch C  wenn wir ±e hoch C durch L ersetzen, können wir schreiben:

(y – N)/(y – M) = L*e hoch b(N – M)x

Um diese Gleichung nach y aufzulösen, ersetzen wir die rechte Seite mit u. u = L*e hoch b(N – M)x

(y – N)/(y – M) = u,

y – N = (y – M)*u = yu – Mu

y(1 – u) = N -Mu

y = (N – Mu)/(1 -u)

Nun wird die rechte Seite erweitert und wie folgt umgeformt:

(N – Mu)/(1 -u) = [(N – M) + (1 – u)M]/(1 – u)* wenn Sie den Zähler ausmultiplizieren und aufaddieren [(N – M) + (1 – u)M]

Nun können Sie auch schreiben:

(N – M)/(1 – u) + (1 – u)M/(1 – u) und erhalten y = (M – N)/(1 – u) + M und mit u = L*e hoch b(N – M)x

Diese Differentialgleicheichung hat 2 Lösungen je nach dem ob L positiv oder negativ ist.

y = M + (N – M)/[1 – L*e hoch b(N – M)x] wenn L positiv ist (+L)

Für negatives L, (-L), lautet dieLösung   y = M + (N – M)/[1 + L*e hoch b(N – M)x] 

* wenn Sie den Zähler ausmultiplizieren und aufaddieren [(N – M) + (1 – u)M] erhalten Sie N – M + M – Mu = N – Mu

Weil wir soeben Beispiel 4) gelöst haben können wir nun Beispiel 3) quasi hinschreiben:

3) k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)], y’ = cy(M – y) 

hier behanden wir das Beispiel: y’ = by(M – y) und lösen es analog wie:

y’ = b(M – y)(N – y), indem wir M = 0 setzen und formen die Gleichung wie folgt um  y’ = -b(0 – y)(N – y) weil M = 0 ist, können wir die Lösung direkt hinschreiben:

y = N/[1 + K*e hoch (-bNx)] c > 0, N > 0 oder falls y = F(t)

F(t) = N/[ 1 + K*e hoch (-bNt)] die Funktion nennt sich die logistische Funktion, dessen Graph s-förmig verläuft und Wachstumsvorgänge ziemlich exakt wiedergeben kann.

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